In tempi recenti si è affermato che molti sistemi dinamici della fisica matematica classica e della meccanica sono dotati di strutture simplettiche, date nella maggior parte dei casi dalle parentesi di Poisson. Molto spesso tali strutture di Poisson su varietà corrispondenti sono canoniche, il che dà origine alla possibilità di produrre la loro essenza teorica di gruppo nascosto per molti sistemi dinamici completamente integrabili. È noto che gran parte delle teorie comprensive dell'integrabilità dei sistemi dinamici non lineari su varietà si basano su idee algebriche di Lie, per mezzo delle quali, in particolare, è stata effettuata la classificazione di tali sistemi integrabili di tipo bi hamiltoniano e isospettralmente di tipo Lax. Molti capitoli di questo libro sono dedicati alla loro descrizione, ma con nostro rammarico finora il lavoro non è stato completato. Con ciò il nostro obiettivo principale in ciascun caso analizzato consiste nel separare l'essenza algebrica di base responsabile della completa integrabilità e che è, allo stesso tempo, in un certo senso universale, i. e. , caratteristico per tutti loro. L'analisi di integrabilità nel quadro di un algoritmo gradiente-olonomo, ideato in questo libro, si realizza attraverso tre fasi: 1) trovare una struttura simplettica (parentesi di Poisson) che trasforma un sistema dinamico originale in una forma hamiltoniana; 2) trovare integrali primi (variabili di azione o leggi di conservazione); 3) definire un ulteriore insieme di variabili e alcune quantità di operatori funzionali con evoluzioni completamente controllate (ad esempio, come rappresentazione di tipo Lax).
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