In questo libro studiamo gli spray e le metriche di Finsler. In parole povere, uno spray su una varietà è costituito da sistemi compatibili di equazioni differenziali ordinarie del secondo ordine. Una metrica di Finsler su una varietà è una famiglia di norme in spazi tangenti, che variano dolcemente con il punto base. Ogni metrica di Finsler determina uno spray mediante i suoi sistemi di equazioni geodetiche. Pertanto, gli spazi Finsler possono essere visti come spazi di spruzzatura speciali. D'altra parte, ogni metrica di Finsler definisce una funzione di distanza in base alla lunghezza delle curve minime. Pertanto gli spazi di Finsler possono essere visti come spazi metrici regolari. Gli spazi riemanniani sono spazi metrici regolari speciali. Nel 1854 B. Riemann introdusse la curvatura di Riemann per gli spazi riemanniani nel suo innovativo Habilitationsvortrag. Da allora in poi la geometria di questi speciali spazi metrici regolari prende il nome da lui. Riemann menzionò anche gli spazi metrici regolari generali, ma pensò che non ci fosse nulla di nuovo nel caso generale. In effetti, è tecnicamente molto più difficile trattare spazi metrici regolari generali. Per più di mezzo secolo non ci furono progressi essenziali in questa direzione finché P. Finsler non compì il suo lavoro pionieristico nel 1918. Finsler studiò i problemi variazionali di curve e superfici in spazi metrici regolari generali. Alcuni problemi difficili sono stati risolti da lui. Da allora, tali spazi metrici regolari sono chiamati spazi di Finsler. Finsler, tuttavia, non andò oltre introducendo le curvature per gli spazi metrici regolari. Ha cambiato la sua direzione di ricerca verso la teoria degli insiemi poco dopo la laurea.
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