Questa monografia di ricerca presenta risultati ai ricercatori nel campo del calcolo stocastico, delle equazioni differenziali stocastiche in avanti e all'indietro, delle connessioni tra processi di diffusione ed equazioni alle derivate parziali del secondo ordine (PDE) e della matematica finanziaria. Presta particolare attenzione alle relazioni tra SDE/BSDE e PDE di secondo ordine sotto ipotesi di regolarità minima, ed estende tali risultati anche ad equazioni con coefficienti multivalore. Gli autori presentano in particolare la teoria degli SDE riflessi nel quadro sopra menzionato e includono esercizi alla fine di ogni capitolo. Il calcolo stocastico e le equazioni differenziali stocastiche (SDE) furono introdotte per la prima volta da K. Itô negli anni '40, per costruire il percorso dei processi di diffusione (che sono processi di Markov a tempo continuo con traiettorie continue che assumono i loro valori in uno spazio vettoriale o varietà di dimensione finita), che era stato studiato da un punto di vista più analitico da Kolmogorov negli anni '30. Da allora, questo argomento è diventato un argomento importante di Matematica e Matematica Applicata, per la sua ricchezza matematica e la sua importanza per le applicazioni in molti settori della Fisica, della Biologia, dell'Economia e della Finanza, dove i processi casuali giocano un ruolo sempre più importante. Un aspetto importante è la connessione tra processi di diffusione ed equazioni differenziali alle derivate parziali lineari del secondo ordine, che è in particolare la base per i metodi numerici Monte Carlo per PDE lineari. Dal lavoro pionieristico di Peng e Pardoux nei primi anni '90, è emerso un nuovo tipo di SDE chiamate equazioni differenziali stocastiche all'indietro (BSDE). Le due ragioni principali per cui questa nuova classe di equazioni è importante sono la connessione tra BSDE e PDE semilineari, e il fatto che le BSDE costituiscono una naturale generalizzazione del famoso modello Black e Scholes di Mathematical Finance, e quindi offrono un quadro matematico naturale per la formulazione di molti nuovi modelli in Finanza.
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